Resumen de Medidas de Tendencia Central

Resumen de Medidas de Tendencia Central

25 de octubre de 2024

Media Aritmética

La media aritmética (x\overline{x}) es el promedio de un conjunto de datos, calculado sumando todos los valores y dividiendo entre el número total de observaciones.

Para nn datos x1,x2,,xnx_1, x_2, \dots, x_n:

x=1ni=1nxi \overline{x} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_i

Ejemplo:

Calcule la media de las edades: 18, 20, 22, 24, 26.

Solución:

x=18+20+22+24+265=1105=22 \overline{x} = \frac{18 + 20 + 22 + 24 + 26}{5} = \frac{110}{5} = 22

Mediana

La mediana es el valor central de un conjunto de datos ordenados. Si el número de observaciones es impar, es el valor medio; si es par, es el promedio de los dos valores centrales.

Ejemplo:

Encuentre la mediana de las puntuaciones: 85, 90, 75, 80, 95.

Solución:

Ordenamos los datos: 75, 80, 85, 90, 95.

La mediana es el valor central:

Mediana=85 \text{Mediana} = 85

Moda

La moda es el valor que aparece con mayor frecuencia en un conjunto de datos.

Ejemplo:

Determine la moda en el conjunto: 2, 4, 4, 6, 8, 4, 10.

Solución:

El número que más se repite es 4.

Moda=4 \text{Moda} = 4

Rango

El rango es una medida de dispersión que indica la diferencia entre el valor máximo y el valor mínimo de un conjunto de datos.

Rango=Valor maˊximoValor mıˊnimo \text{Rango} = \text{Valor máximo} - \text{Valor mínimo}

Ejemplo:

Calcule el rango de las temperaturas: 15°C, 18°C, 22°C, 25°C, 30°C.

Solución:

Rango=3015=15C \text{Rango} = 30 - 15 = 15^\circ\text{C}

Problemas que Involucran Medidas de Tendencia Central y Rango

Ejemplo 1: Notas de Examen

Las notas de 12 estudiantes son: 7, 8, 9, 10, 6, 7, 8, 9, 7, 8, 9, 10.

Preguntas:

  1. Calcule la media, mediana y moda.
  2. Determine el rango de las notas.

Solución:

  1. Media: x=7+8+9+10+6+7+8+9+7+8+9+1012=98128.17 \overline{x} = \frac{7 + 8 + 9 + 10 + 6 + 7 + 8 + 9 + 7 + 8 + 9 + 10}{12} = \frac{98}{12} \approx 8.17 Mediana: Ordenamos los datos: 6, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 9, 9, 9, 10, 10. Como n=12n = 12 (par), la mediana es el promedio del 6º y 7º valor: Mediana=8+82=8 \text{Mediana} = \frac{8 + 8}{2} = 8 Moda: Los valores que más se repiten son 7, 8 y 9 (cada uno aparece 3 veces). Moda=7, 8, 9 \text{Moda} = 7,\ 8,\ 9
  2. Rango: Rango=106=4 \text{Rango} = 10 - 6 = 4

Ejemplo 2: Alturas en un Equipo

Las alturas (en cm) de los jugadores de un equipo son: 170, 175, 180, 185, 190.

Preguntas:

  1. Calcule la media y mediana.
  2. ¿La media y la mediana son iguales en este caso?
  3. Determine el rango.

Solución:

  1. Media: x=170+175+180+185+1905=9005=180 \overline{x} = \frac{170 + 175 + 180 + 185 + 190}{5} = \frac{900}{5} = 180 Mediana: Como n=5n = 5 (impar), la mediana es el valor central: Mediana=180 \text{Mediana} = 180
  2. Sí, en este caso la media y la mediana son iguales.
  3. Rango: Rango=190170=20 cm \text{Rango} = 190 - 170 = 20\ \text{cm}

Ejemplo 3: Ventas Semanales

Una tienda registra las siguientes ventas en miles de pesos durante una semana: 15, 18, 22, 25, 30, 35, 100.

Preguntas:

  1. Calcule la media y mediana.
  2. Analice el efecto de un valor atípico en las medidas de tendencia central.
  3. Determine el rango.

Solución:

  1. Media: x=15+18+22+25+30+35+1007=2457=35 \overline{x} = \frac{15 + 18 + 22 + 25 + 30 + 35 + 100}{7} = \frac{245}{7} = 35 Mediana: Ordenamos los datos: 15, 18, 22, 25, 30, 35, 100. La mediana es el 4º valor: Mediana=25 \text{Mediana} = 25
  2. El valor atípico (100) incrementa significativamente la media, pero la mediana sigue siendo más representativa de la mayoría de los datos.
  3. Rango: Rango=10015=85 miles de pesos \text{Rango} = 100 - 15 = 85\ \text{miles de pesos}

Ejemplo 4: Comparación de Grupos

Dos clases tienen las siguientes puntuaciones en un examen:

  1. Clase A: 80, 82, 85, 87, 90
  2. Clase B: 70, 75, 80, 85, 130

Preguntas:

  1. Calcule la media de cada clase.
  2. Determine cuál clase tiene mayor dispersión en sus puntuaciones.

Solución:

  1. Media de Clase A: xA=80+82+85+87+905=4245=84.8 \overline{x}_A = \frac{80 + 82 + 85 + 87 + 90}{5} = \frac{424}{5} = 84.8 Media de Clase B: xB=70+75+80+85+1305=4405=88 \overline{x}_B = \frac{70 + 75 + 80 + 85 + 130}{5} = \frac{440}{5} = 88
  2. Rango de Clase A: RangoA=9080=10 \text{Rango}_A = 90 - 80 = 10 Rango de Clase B: RangoB=13070=60 \text{Rango}_B = 130 - 70 = 60 La Clase B tiene mayor dispersión debido al valor atípico (130).

Conclusión

Las medidas de tendencia central y el rango son esenciales para describir y analizar conjuntos de datos. Mientras que la media, mediana y moda indican dónde se concentra la información, el rango muestra la variabilidad o dispersión de los datos. Es importante considerar posibles valores atípicos que puedan influir en estas medidas, especialmente en la media.